%\documentclass[onecolumn,   amssymb, amsmath, a4paper,  12pt]{revtex4}
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fullpage}
\linespread{1.6}

\usepackage{float}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{array}
\usepackage{mathtext}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[section]{placeins}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage{subfig}
\usepackage{booktabs}
%\renewcommand{\tocname}{Содержание}
%\renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{>\arraybackslash}m{#1}}

%\newenvironment{narrow}[2]{%
%\begin{list}{}{%
%  \setlength{\topsep}{0pt}%
%  \setlength{\leftmargin}{#1}%
%  \setlength{\rightmargin}{#2}%
%  \setlength{\listparindent}{\parindent}%
%  \setlength{\itemindent}{\parindent}%
%  \setlength{\parsep}{\parskip}}%
%\item[]}{\end{list}}

\title{Параметрическая генерация низкочастотных волн электронами плазмы, ускоренными в условиях электронно-циклотронного резонанса.}

\begin{document}
%\maketitle{}
\tableofcontents
\clearpage
\section{Введение}
Волны диапазона очень низких частот (ОНЧ) находят широкое применение в таких приложениях физики околоземной плазмы, как  сверхдальная радиосвязь между станциями различного типа базирования, диагностика параметров ионосферы и магнитосферы. Помимо этого ОНЧ волны рассматриваются в качестве инструмента активного воздействия на параметры ионосферы и магнитосферы, в частности, организации контролируемых высыпаний энергичных частиц  и предупреждения магнитных бурь~\cite{Demekhov}. Особый интерес представляет генерация волн свистового диапазона $\sqrt{f_{ci}f_{ce}}<F<f_{ce}\ll f_{pe}$, где $F$ - частота НЧ излучения, $f_{ce}, f_{ci}, f_{pe}$ --- электронная циклотронная, ионная циклотронная и плазменная частоты, соответственно.

Прямое возбуждение ОНЧ волн в околоземной плазме является сложной технической задачей, требующей использования антенн с пространственной базой, сравнимой с длиной волны излучения. Подобные антенны используются, например, в наземных ОНЧ станциях~\cite{SPBEACON}, однако эффективное возбуждение ОНЧ волн достаточно большой амплитуды в ионосфере и магнитосфере такими установками  требует больших энергетических затрат.

В качестве альтернативы, в наземных стендах, используемых для нагрева ионосферы (например, HAARP~\cite{HAARP}), применяется параметрический метод возбуждения ОНЧ волн посредством нагрева нижних слоев ионосферы мощным высокочастотным (ВЧ) излучением, модулированным на низкой частоте, что ведет к изменению проводимости $D-$слоя ионосферы  в области авроральных электроджетов и, как результат, формированию источника  ОНЧ излучения непосредственно в ионосфере. Такой механизм генерации ОНЧ волн, посредством мощного ВЧ излучения, вызывает модификацию температуры электронов в $D-$ и нижнем $E-$слоях ионосферы. Модификация электронной температуры ведет к изменению педерсеновской и холловской проводимости и, следовательно, изменению плотности ионосферных токов. Если несущее ВЧ излучение периодически модулировано (по частоте и/или амплитуде), ионосферные токи тоже окажутся модулированными с той же частотой; при этом нагретая область ионосферы (с ее непосредственным окружением) становится ``бестелесной'' антенной, излучающей на частоте, соответствующей частоте модуляции исходного ВЧ излучения накачки.   

Большие наземные станции, всилу своего стационарного базирования, являются локальными исследовательскими инструментами, оперирующими только с одной магнитной силовой трубкой, соответствующей географическому расположению  стенда. С этой точки зрения, альтернативу составляет возбуждение НЧ волн с борта космических аппаратов (КА), которые, по мере своего движения по орбите, пересекают  области ионосферы, соответствующие различным широтам, долготам и локальному времени суток и, тем самым, являются инструментами оперативной диагностики и воздействия на параметры околоземной плазмы в целом. Однако, одним из недостатков такой методики является низкая эффективность прямого возбуждения волн ОНЧ диапазона бортовыми антеннами КА, обусловленная, в первую очередь, их малыми размерами по сравнению с длинами волн ОНЧ диапазона; характерные размеры применяемых антенн не превышают значений $L\sim10\div{}100$~м. Прямое возбуждение ОНЧ волн такими антеннами малоэффективно, так как они являются электрическим малыми для волн данного диапазона ($\lambda/L\gg{}1$). Ограничение на максимальный размер бортовых антенн связано с ограничением на максимальную взлетную массу спутника и сложностью развертывания антенной системы на орбите. Повышение мощности передатчиков космического базирования также сопряжено с серьезными трудностями.

В данной работе для возбуждения ОНЧ волн предлагается использовать нелинейный явления, развивающиеся в плазме, окружающей ВЧ антенные системы на борту КА. В этом случае крупномасштабная ``параметрическая'' антенна для генерации может быть сформирована модулированными потоками заряженных частиц, ускоренных в ближней зоне мощного ВЧ передатчика космического базирования. Ниже кратко рассмотрены результаты соответствующих космических экспериментов.

Как правило, работа мощных (до $P\sim 1$\,кВт) бортовых передатчиков сопровождается сильной модификацией плазмы вблизи КА, особенно при приближении рабочей частоты $f$ к ``главным'' резонансным частотам: электронной плазменной $f_{pe}$, электронной циклотронной $f_{ce}$ и их гармоникам. В резонансных условиях возможны возбуждение высокодобротных колебаний в плазме и антенных цепях~\cite{WHISPER}, нагрев плазмы и генерация потоков ускоренных заряженных частиц (\mbox{рис.\ref{fig:ecr_2}a})~\cite{James,Pulinets,Galperin,Huang}.
%На \mbox{рис.\ref{fig:ecr_1}} представлены характерные ионограммы, полученные в результате внешнего радиоимпульсного зондирования ионосферы с борта ионозонда ``Aloutte''. Рабочему режиму зонда соответствует темная кривая, выходящая из области на оси частот, помеченная как $X$, однако, при работе передатчика также наблюдалось возбуждение высокодобротных колебаний на других частотах, в частности, на $f_{ce}$ и $f_{pe}$, обусловленное нелинейными эффектами в ближней зоне антенны при работе мощного бортового передатчика ($P>100$~Вт). 
%\begin{figure}[H]
%\centering
%    \includegraphics*[width=0.6\textwidth]{ecr_1}
%    \caption{Характерные ионограммы, полученные с помощью аппаррата для внешнего радиоимпульсного зондирования ионосферы ``Aloutte'' при различных соотношениях между плазменной ($f_N$) и электронной циклотронной ($f_H$) частотами[].}
%    \label{fig:ecr_1}
%\end{figure}
На \mbox{рис.\ref{fig:ecr_2}b} сведены результаты экспериментов по регистрации потоков частиц в ионосферной плазме, ускоренных при работе мощного бортового передатчика ИСЗ ``Интер\-космос-19''~\cite{Galperin}; по горизонтальной и вертикальной осям отложены значения $q=f_{pe}/f_{ce}$ и $p = f/f_{ce}$, соответственно ($f$ --- несущая частота передатчика). При таком выборе осей горизонтальные линии на графике соответствуют работе передатчика на гармониках $f_{ce}$, наклонные --- работе на гармониках $f_{pe}$, $f = n\cdot{}f_{ce}$ и $f = m\cdot{}f_{pe}$, $n,m$ --- номера соответствующих гармоник. Как видно из приведенного графика, генерация потоков ускоренных частиц наблюдалась при различных значениях $n,m$ (в том числе --- не соотвествущих каким-либо гармоникам $f_{pe}$ и $f_{ce}$), однако, можно выделить режим $f=f_{ce}$, т.е. режим электронного циклотронного резонанса (ЭЦР); при этом, ускоренные потоки частиц уверенно регистрировались в наиболее широком диапазоне значений $q$. 
\begin{figure}[H]
  \centering
  \subfloat[]{\label{fig:ecr_2_a}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ecr_2}}                
  \subfloat[]{\label{fig:ecr_2_b}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ecr_3}}
  \caption{$(a)$ Генерация потоков ускоренных частиц при работе передатчика ИСЗ ``Интеркосмос-19'' вблизи ``главных'' резонансных частот плазмы. $(b)$ Сводный график, демонстрирующий генерацию потоков ускоренных частиц при работе бортового передатчика в условиях $p=f/f_{ce}$ и $q = f_{pe}/f_{ce}$; точками отмечены положения локальных максимумов тока ускоренных частиц как фунции $(p,q)$.}
  \label{fig:ecr_2}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
	\centering
    \includegraphics*[width=0.6\textwidth]{ecr_4}
    \caption{Питч-угловое распределение плотности потока электронов с энергиями в диапазоне $E_{e}=3\div300$~эВ  в нижних областях ионосферы при работе бортового передатчика ИСЗ ISIS на частоте $f=1$~МГц.}
    \label{fig:ecr_4}
\end{figure}
На \mbox{рис.\ref{fig:ecr_4}} приведено питч-угловое распределение электронов с энергиями в диапазоне $3\div300$~эВ  в нижних областях ионосферы при работе бортового передатчика ИСЗ ``ISIS-II'' ~\cite{James}; с ростом энергии частиц наблюдается анизотропизация питч-углового распределения потока электронов в направлении, перпендикулярном внешнему магнитному полю, т.е. электроны увеличивают, преимущественно, свою поперечную энергию $T_{\perp}$.

Таким образом, в космических экспериментах при работе бортового передатчика КА в условиях ЭЦР уверенно регистрировались потоки электронов с сильной питч-угловой анизотропизацией функции распределения электронов по энергии, $T_{\perp}\gg{}T_{\parallel}$.

Поскольку в условиях ЭЦР электроны увеличивают свою поперечную энергию и приобретают дополнительный магнитный момент, в плазме наблюдается диамагнитный эффект: уменьшение индукции внешнего магнитного поля в области, содержащей быстрые частицы. Диамагнитный эффект является удобным макроскопическим индикатором ускорения электронов, и может использоваться для создания искусственных возмущений магнитного поля с контролируемыми параметрами. 

Если ВЧ сигнал, подводимый к антенне, модулирован по амплитуде с частотой $f_{m}$, то поток ускоренных электронов, и, соответственно, наведенный в возмущенной области плазмы магнитный момент изменяются с периодом модуляции. В результате, протяженная область пространства, в которую из ближней зоны передатчика поступает модулированный поток ускоренных по поперечной энергии электронов, может выступать в роли ``бестелесной'' антенны, излучающей волны на частоте модуляции в окружающую плазму. Эффективную длину такой антенны можно оценить как $L_{eff}=v_{Te}/\nu_{eff}$, где $v_{Te}$ --- тепловая скорость электронов, $\nu_{eff}=max(\nu_{ei},\ {}f_{m})$, $\nu_{ei}, f_{m}$ --- частота кулоновских электрон-ионных столкновений в плазме и частота амплитудной модуляции сигнала накачки, соответственно. Таким образом, в условиях ионосферы ($T_{e}\sim{}0.1\div{}5$~эВ, $n_e\sim{}10^{3}\div{}10^{6}$~см$^{-3}$, $f_{m}\sim{}300$~Гц$\div{}30$~кГц, $f_{m}\gg{}\nu_{ei}$), $L_{eff}$ может достигать значений до нескольких километров, что превышает длину традиционных антенн КА, и, тем самым, повышает эффективность возбуждения ОНЧ волн. Следует также отметить, что полученная таким образом ``бестелесная'' антенна --- магнитного типа, что повышает эффективность возбуждения волн электромагнитного типа.

Предлагаемая в настоящей работе схема возбуждения ОНЧ волн может оказаться эффективнее, чем описанный  в~\cite{Gushchin} параметрический механизм возбуждения НЧ свистовых волн ВЧ волновыми пучками, основанный на генерации дрейфовых электронных токов под действием усредненной пондеромоторной силы, при реализации в активных ионосферных экспериментах. Целью работы является экспериментальная оценка возможности генерации квазистационарных магнитных полей и ОНЧ волн при ЭЦР ускорении плазмы бортовыми антеннами КА.

\section{Модельные лабораторные эксперименты} 
\subsection{Крупномасштабный стенд ``Крот''}
Экспериментальный стенд ``Крот'' (\mbox{рис.\ref{fig:KROT}}) создан в ИПФ РАН для моделирования физических процессов в плазме ионосферы и магнитосферы Земли. Установка представляет собой вакуумную камеру, изготовленную из немагнитной нержавеющей стали, полный объем которой составляет $V \approx 180$ м$^{3}$. С помощью трех диффузионных пароструйных насосов и дугового геттерного насоса с титановым катодом камера откачивается до давления остаточного газа $p = 5\cdot10^{-6}$ торр. 
Магнитное поле пробочной конфигурации (пробочное отношение $R \approx 2.4$) создается с помощью соленоида, установленного внутри вакуумного объема. Характерная длительность импульса тока в соленоиде порядка $20$ мс, что существенно больше времен исследуемых плазменных процессов. Величина поля $B_{0}$ в минимуме может составлять до $1$ кГс.
Цилиндрический плазменный столб формируется в рабочей секции камеры, имеющей длину $10$ м и диаметр $3$ м, в результате импульсного индукционного высокочастотного разряда; для создания плазмы используются два генератора с частотой $5$ МГц и выходной мощностью до $1$ МВт в импульсе длительностью $1.5$ мс.

Непрерывный напуск газа (аргона или гелия) осуществляется через пьезокерамический натекатель. Установка работает в импульсно-периодическом режиме с частотой повторения $0.05$---$0.2$ Гц. Максимальная плотность плазмы в момент пробоя достигает $n_{0} \approx 10^{13}$ см$^{-3}$, после окончания работы генераторов плазма распадается с характерным временем порядка нескольких миллисекунд, зависящим от величины магнитного поля $B_{0}$. Распад определяется процессом амбиполярной диффузии вдоль магнитного поля. На стадии распада плазмы устанавливается квазистационарная температура электронов $T_{e} \approx 0.2$ --- $1$ эВ, в зависимости от выбранной мощности ВЧ генераторов. Ионная температура не превышает $T_{i} \sim 1$ эВ. Эксперименты, в которых были получены результаты, представляемые в работе, выполнялись в режиме распадающейся плазмы.

Для управления параметрами создаваемой плазмы в экспериментах использовался дополнительный импульс ВЧ нагрева, включавшийся с некоторой задержкой ($\sim0.5$ мс) относительно ионизируещего импульса. Его мощность достигала $5$ кВт, длительность $\sim1$ мс.
\begin{figure}[H]
  \parbox[c]{\linewidth}
  {
    \centering
    \includegraphics*[width=\textwidth]{KROT_scheme}
    \caption{Схема экспериментальной установки ``Крот'' и распределение магнитного поля вдоль оси вакуумной камеры}
    \label{fig:KROT}
  }
  \hfill\hfill\hfill\hfill
  \parbox[c]{\linewidth}
  {
 	    \begin{tabularx}{\linewidth}{p{0.5cm} l p{1cm} l}
      	& 1 --- система вакуумной накачки & &  5 --- двойной зонд\\
      	& 2 --- система напуска рабочего газа & &  6 --- рамочная антенна\\
      	& 3 --- плазмосоздающие генераторы & &  7 --- зонд с СВЧ резонатором\\
      	& 4 --- соленоид & & 8 --- дипольная антенна\\
    	\end{tabularx}
  }
 \end{figure}
\subsection{Постановка экспериментов}
Схема экспериментов по параметрическому возбуждению НЧ волн в плазме потоками электронов, ускоренных в условиях ЭЦР, представлена на \mbox{рис.\ref{fig:experiment_setup}}. 
Мощный ВЧ сигнал ($f=65\div{}85$\,МГц, $P\simeq300$\,Вт) подводился к рамочной антенне диаметром $7$\,см, установленной на оси плазменного столба ($r=0$\,см), в форме импульса длительностью $\tau=0.1\div1000$\,мкс. В ВЧ генераторе был предусмотрен режим глубокой (до $100\%$) амплитудной модуляции сигнала на низкой частоте, $f_m=0.1\div{}10$\,МГц. Регистрация возбуждаемых в плазме квазистационарных и НЧ магнитных полей осуществлялась шестивитковыми магнитными зондами диаметром~$1.8$\,см, помещенными в электростатические экраны и изолированными от плазмы тонким слоем диэлектрика. Концентрация и температура электронов измерялись, соответственно, зондом с СВЧ-{}резонатором на четвертьволновом отрезке двухпроводной линии~\cite{Stenzel,Yanin} и двойным электрическим зондом~\cite{UHF_probe}. 

Для всего объема плазмы, в котором проводились измерения, можно считать, что внешнее магнитное поле ориентировано вдоль оси плазменного столба, $\vec{B_{0}}\uparrow{}\vec{z}$; для описания результатов эспериментов используется цилиндрическая система координат $(z,r,\varphi)$, в которой за ось симметрии $\vec{z}$ принята центральная ось установки.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics*[width=\textwidth]{Experiment_setup}
    \caption{Схема модельных экспериментов по параметрическому возбуждению НЧ волн в плазме потоками ускоренных электронов, формируемых в условиях ЭЦР.}
    \label{fig:experiment_setup}
\end{figure}

При выборе параметров лабораторного эксперимента использовались преобразования подобия~\cite{Alfven}, позволяющие напрямую связать результаты космических и лабораторных экспериментов через масштабный множитель $\gamma$. Исходным при получении законов подобия служит то обстоятельство, что в обоих случаях (в космосе и в лаборатории) скорость света одна и та же. Это означает, что при изменении пространственных масштабов в $\gamma$ раз, временные масштабы должны изменится тоже в $\gamma$ раз. 

Допустимо ограниченное моделирование тех явлений и процессов, в которых параметры, не подчиняющиеся законам подобия, играют второстепенную роль и не определяют картину явления. Так, качественный характер электромагнитных процессов в плазме существенным образом определяется соотношениями частоты излучения и характерных частот плазмы по сравнению с единицей ($\frac{\omega}{\omega{}_{pe}}, \frac{\omega}{\omega{}_{he}}, \frac{\omega{}_{ce}}{\omega{}_{pe}}, \frac{\nu}{\omega}$ , где $\omega{}, \omega_{pe}, \omega{}_{ce}, \nu$ --- частота излучения, плазменная частота, электронная циклотронная частота и частота межчастичных столкновений, соответственно). Качественное моделирование многих электродинамических процессов в лабораторных условиях возможно и в случае, когда какие-то параметры не соответствуют законам подобия, но сохраняют сильные неравенства для характерных безразмерных величин.

При лабораторном моделировании электродинамических процессов в плазме, окружающей бортовые антенны КА, в качестве масштабного множителя $\gamma$ естественно выбрать отношение характерных размеров антенны $L$ и ее модели $l$: $\gamma{}=L/l$. Основные масштабируемые величины пересчитываются согласно Табл.~\ref{tab:value_scaling}
\begin{table}[H]
  \centering %центрируем таблицу
   \begin{tabular}{|m{3cm}|m{7cm}|}
   \hline
     \textbf{Масштабный коэффициент $K$} & \textbf{Физический параметр}  \\\hline
     $1$ &  Направленные скорости электронов и ионов, энергии, фазовые и групповые скорости волн, полная излученная мощность, \ldots\\\hline
     $\gamma$ & Частоты, волновые числа, обратная дебаевская длина, обратные гирорадиусы, электрические и магнитные поля, обратные длины антенн, \ldots\\\hline
     $\gamma{}^{2}$ & Плотности зарядов, токов, электромагнитной энергии, \ldots\\
     \hline
   \end{tabular}
   \caption{Сопоставление величин характеристических параметров в космических условиях ($A$) и в лабораторной плазме ($a$): $A=K\cdot{}a$}
   \label{tab:value_scaling}
\end{table}

В качестве примера параметров, которые не подчиняется законам подобия, можно указать частоты межчастичных столкновений. Частоты столкновений заряженных частиц определяются микрополями, напрямую зависящими от зарядов частиц, которые масштабированию не поддаются. Это ясно, если рассмотреть выражение для частоты кулоновских столкновений $\nu{}_{ei} \propto{} {n_{e}}/{T^{\frac{3}{2}}}$, которые, в большинстве случаев, являются определяющими для разреженной плазмы (из него следует, что $\nu{}_{ei}$ должна масштабироваться как плотность, т.е. как $\gamma{}^{2}$, в то время как, по смыслу параметра, частота должна была бы пересчитываться как $\gamma$). Тем не менее, как уже было сказано выше, качественный характер процессов определяется значением неких характерных параметров по сравнению с единицей. Для моделирования физических процессов в плазме, окружающей КА, в качестве такого параметра естественно принять отношение длины свободного пробега частицы (электрона) к характерной длине КА (и/или его антенны) $\frac{l_{ei}}{L}$. Для \emph{F-слоя} ионосферы, где концентрация околоземной плазмы достигает своего максимальной значения, $n_{e} \sim 10^{6} \ {} cm^{-3}$, электронная температура сравнительно мала $T_{e} \sim{} 0.2\ {}eV$, а магнитное поле порядка $0.3$ Гс, величина $l_{ei}\sim{}1$ км, поэтому для бортовых антенн даже с размерами $L\sim{}10\div{}100$ м, справедливо неравенство:
\begin{equation}
\label{eq:diff}
\frac{l_{ei}}{L}\gg{}1
\end{equation}
На больших высотах концентрация плазмы меньше, температура электронов --- выше, следовательно --- неравенство (\ref{eq:diff}) выполняется с еще большим запасом.
Для лабораторного моделирования важно подобрать такие условия, в которых сохранялось бы неравенство (\ref{eq:diff}).


Параметры экспериментов, приведенные в \mbox{таб.~\ref{tab:value_scaling_ionosphere}}, выбирались для  масштабного множителя $\gamma \simeq 100$, равного отношению характерных размеров антенны КА ($\sim 10$\,м) и ее уменьшенной лабораторной модели ($\sim 10$\,см). Длина свободного пробега электронов $l_{ei}$ относительно кулоновских столкновений превышала размер антенны, т.е. был сохранен бесстолкновительный режим взаимодействия заряженных частиц с ближним полем передатчика, характерный для ионосферных экспериментов. 
\begin{table}[H]
{
   \hfill{}
   \small
   \centering %центрируем таблицу
   \begin{tabular}{|m{3cm}|m{2.3cm}|m{4.5cm}|}
     \hline
     \textbf{Параметр} & \textbf{Ионосфера} & \textbf{Лабораторная плазма}\\\hline
     Концентрация электронов $n_{e}$,\,см$^{-3}$ & $10^{3}\div{}10^{6}$ & $10^{7}\div{}10^{10}$ ($10^{6}\div{}10^{11}$)\\\hline
     Температура электронов $T_{e}$,\,эВ & $0.2\div5$ & $0.2\div5$ ($0.3\div3$)\\\hline
     Индукция статического магнитного поля $B$,\,Гс & $0.2\div0.5$ & $20\div50$ ($10\div100$)\\\hline
     Размер антенны $L$,\,см & $1000$ & $10$ ($7$)\\\hline
     Частота $f$,\,МГц &$0.1\div10$& $10\div{}1000$ ($65\div 80$)\\\hline
     Мощность передатчика $P$,\,Вт &$100\div1000$& $100\div1000$ ($300$)\\\hline
   \end{tabular}
   \hfill{}
}

   \caption{Параметры активных ионосферных и модельных лабораторных экспериментов при значении масштабного множителя $\gamma = 100$; в скобках приведены фактические параметры эксперимента на стенде ``Крот''.}
   \label{tab:value_scaling_ionosphere}
\end{table}
\section{Экспериментальные результаты}
\subsection{Возмущения магнитного поля, формируемые одиночным радиоимпульсом}
Как показали эксперименты, в плазме уверенно регистрируется диамагнитный эффект, обусловленный резонансным ускорением электронов в ближней зоне антенны. На \mbox{рис.\ref{fig:pump}} показаны типичные осциллограммы импульса накачки (\mbox{рис.\ref{fig:pump}}a), подаваемого на антенну в условиях ЭЦР, неинтегрированного сигнала с магнитного зонда (\mbox{рис.\ref{fig:pump}}b),  когда он находится напротив витков рамочной антенны  и соответствующего возмущения $\Delta{}B$ магнитного поля $B_{0}$ (\mbox{рис.\ref{fig:pump}}с). Возмущение магнитного поля свидетельствует о наличии уверенно регистрируемого диамагнитного эффекта.

\begin{figure}[H]
\centering
    \includegraphics*[width=0.5\linewidth]{pulse_demo}
    \caption{$(a)$ Импульс накачки мощностью $P\approx{}250$~Вт, подаваемый на рамочную антенну; $(b)$ неинтегрированный сигнал с магнитного зонда; $(c)$ полное возмущение $\Delta{}B$ внешнего магнитного поля в условиях ЭЦР на расстоянии $z=3.5$~см напротив витков антенны ($n_{e}=10^{10}$~см$^{-3}$, $B_{0} = 25$~Гс)}
    \label{fig:pump}
\end{figure}

Возмущения магнитного поля максимальны при приближении частоты сигнала к первой и второй гармоникам электронной гирочастоты, $f_{ce}$ и $2f_{ce}$ \mbox{(рис.\ref{fig:cycl_line})}. Основной резонанс ($f_{ce}$) несимметрично уширен в область низких частот, что, по-видимому, обусловлено возбуждением антенной при $f<f_{ce}$ распространяющихся ВЧ волн свистового диапазона и, соответственно, увеличением эффективных размеров области взаимодействия заряженных частиц с ВЧ полем. Резонанс на второй гармонике ($2f_{ce}$) находится в области непрозрачности плазмы для электромагнитного излучения, $f_{ce}<f<f_{pe}$. Симметричное уширение этого резонанса на уровне $\Delta f/f\ge 10^{-2}$ носит бесстолкновительный характер, и обусловлено конечным временем пролета ускоряемых электронов через ближнюю зону антенны с невозмущенной продольной (тепловой) скоростью, $\Delta t\sim L/v_{Te}\simeq 100$\,нс. Оцениваемая таким образом ширина линии $\Delta f \sim \Delta t^{-1}$ близка к измеренному значению. На основании экспериментальных данных можно утверждать (см. врезку к \mbox{рис.\ref{fig:cycl_line}} ), что величина диамагнитного сигнала на первой гармонике $f_{ce}$ пропорциональна мощности подводимого к антенне импульса накачки. 
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics*[width=0.5\linewidth]{cycl_line}
    \caption{ Диамагнитный эффект $\Delta{}B$, регистрируемый на расстоянии $z=3.5$\,см от рамочной антенны, в зависимости от отношения несущей частоты подводимого к антенне сигнала $f$ к локальному значению электронной циклотронной частоты $f_{ce}$. На врезке: диамагнитный эффект $\Delta{}B$ в условиях ЭЦР ($f\simeq f_{ce}$) в зависимости от подводимой к антенне ВЧ мощности; точки --- экспериментальные данные, прямая --- линейная аппроксимация. Концентрация плазмы $n_{e}\simeq 10^{10}$\,см$^{-3}$, температура электронов $T_e\simeq 1$\,эВ.}
    \label{fig:cycl_line}
\end{figure}

На \mbox{рис.\ref{fig:ne_distr}} показана поперечная структура диамагнитного эффекта $\Delta{}B$ в зависимости от концентрации плазмы $n_{e}$. Поперечный масштаб наблюдаемых диамагнитных возмущений задан диаметром антенны, поскольку гирорадиус электронов существенно меньше ее размеров, $\rho_e/L \simeq2\cdot 10^{-2}$. Структура возмущений воспроизводит распределение поперечной компоненты электрического ВЧ поля $E_{\perp}$ в ближней зоне антенны(\mbox{рис.\ref{fig:tr+par_distr}}), которая дает основной вклад в циклотронное ускорение электронов. 
\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics*[width=0.5\linewidth]{picRaspredelenie}
   \caption{Поперечная структура диамагнитного возмущения вблизи ($z=3.5$~см) рамочной антенны при различных концентрациях фоновой плазмы $n_{e}$: $(1)$ $n_{e}=6.0\cdot{}10^{9}$~см$^{-3}$, $(2)$ $n_{e}=7.4\cdot{}10^{9}$~см$^{-3}$, $(3)$  $n_{e}=1.2\cdot{}10^{10}$~см$^{-3}$, $(4)$ $n_{e}=3.1\cdot{}10^{10}$~см$^{-3}$. Положение минимумов соответствует положению зонда напротив витков рамочной антенны.}
   \label{fig:ne_distr}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics*[width=0.5\linewidth]{tr+par_distr}
    \caption{Поперечная структура диамагнитного возмущения при различных ориентациях антенны относительно внешнего магнитного поля: $(1)$ плоскость антенны перпендикулярна внешнему магнитному полю, $(2)$ плоскость антенны ориентирована вдоль внешнего магнитного поля.}
    \label{fig:tr+par_distr}
\end{figure}

На \mbox{рис.\ref{fig:transverse}} изображена поперечная структура возмущений компонент $B_{\varphi}$ и $B_{z}$ внешнего магнитного поля вблизи антенны в условиях ЭЦР. Видно, что амплитуда возмущений компоненты $B_{z}$ внешнего магнитного поля оказалась в несколько раз больше амплитуды возмущений компоненты $B_{\varphi}$. Учитывая то, что возмущение компоненты $B_{z}$ соответствует увеличению поперечной энергии электронов, а возмущение $B{\varphi}$ --- увеличению продольной энергии, можно сделать вывод, что электроны, в процессе ЭЦР нагрева, увеличивают, в основном, свою поперечную энергию. 
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics*[width=0.5\linewidth]{picSET1+SET2}
    \caption{Поперечная структура возмущений компонент $B_{z}$ $(1)$ и $B_{\varphi}$ $(2)$ внешнего магнитного поля в условиях ЭЦР.}
    \label{fig:transverse}
\end{figure}

\subsection{Параметрическое возбуждение НЧ волн}
При амплитудной модуляции ВЧ сигнала, подводимого к антенне, в плазме возбуждаются НЧ электромагнитные поля на частоте модуляции. На \mbox{рис.\ref{fig:phase_composite}$a$} приведены  осциллограммы НЧ сигналов, регистрируемые при подаче на антенну импульса ВЧ накачки с несущей частотой $f\simeq{}f_{ce}$ (ЭЦР) и модулированного по амплитуде с частотой $f_{m}$; различные осциллограммы соответствуют различному радиальному удалению $r$ магнитного датчика от антенны; измерения проводились с шагом $\Delta{}r = 2$~см. Как видно из этого графика, НЧ возмущение внешнего магнитного поля распространяется поперек плазменного столба с конечной фазовой скоростью $v_{\perp}$, увеличивающейся с частотой модуляции ВЧ импульса накачки (\mbox{рис.\ref{fig:phase_composite}$b$}).
\begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{phase_composite}
        \caption{$(a)$ Осциллограммы НЧ сигналов, регистрируемые при подаче на антенну амплитудно-модулированного с частотой $f_{m}$ импульса ВЧ накачки в условиях ЭЦР, при различном радиальном удалении $r$ магнитного зонда от антенны ($f_{m} = 400$\, кГц, $f=66.5$\,МГц $\simeq f_{ce}$, $P\simeq 300$\,Вт). $(b)$ Зависимость поперечной скорости распространения $v_{\perp}$ НЧ возмущений внешнего магнитного поля от частоты модуляции $f_{m}$ импульса ВЧ накачки.}
        \label{fig:phase_composite}
\end{figure} 

\begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.7\textwidth]{L_collected}
        \caption{Осциллограммы НЧ сигналов, регистрируемые при подаче на антенну амплитудно-модулированного с частотой $f_{m}$ импульса ВЧ накачки в условиях ЭЦР, при различном продольном удалении $z$   магнитного зонда от антенны вдоль ее оси ($r=0$, $f_{m} = 400$\, кГц, $f=66.5$\,МГц $\simeq f_{ce}$, $P\simeq 300$\,Вт).}
        \label{fig:L_phase}
\end{figure} 

Измерения позволяют однозначно идентифицировать НЧ поля как косые волны свистового диапазона, продольная фазовая скорость которых $v_{\parallel}\sim 10^8 \div 10^9$\,см/с (\mbox{рис.\ref{fig:L_phase}}) значительно превышает поперечную фазовую скорость $v_{\perp}\sim 10^7 \div 10^8$\,см/с (\mbox{рис.\ref{fig:phase_composite}$a$}). Наблюдается возбуждение волн конической рефракции (англ. Gendrin mode~\cite{Helliwell}), волновой вектор которых практически перпендикулярен к внешнему магнитному полю, а групповая скорость направлена вдоль поля. Преимущественное возбуждение волн данного типа обусловлено геометрией ``бестелесной'' антенны, которая сильно вытянута вдоль внешнего магнитного поля (что соответствует низким продольным волновым числам $k_{\parallel}$), но имеет малый поперечный размер (что соответствует высоким поперечным волновым числам $k_{\perp}$). Поперечная фазовая скорость НЧ волн пропорциональна их частоте (\mbox{рис.\ref{fig:phase_composite}$b$)}), в соответствии с законом дисперсии волн конической рефракции ($v_{\perp}\simeq c f_m/f_{pe}$). Характерные значения амплитуды переменного магнитного поля в НЧ волнах, регистрируемых на периферии плазмы ($r\sim 20\div 40$\,см), приблизительно на $2$ порядка ниже, чем в области исходного диамагнитного возмущения вблизи антенны, и составляют $|\Delta B|\sim 10^{-4}$\,Гс.

\begin{figure}[H]
		\centering
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{param_vs_dir}
        \caption{$(a)$ Радиальное распределение амплитуды НЧ волн свистового диапазона, возбуждаемых амплитудно-модулированным ВЧ сигналом в условиях ЭЦР ($f=66.5$\,МГц $\simeq f_{ce}$, $P\simeq 300$\,Вт) при различных частотах модуляции $f_{m}$, и регистрируемых на расстоянии $z=48$\,см от антенны. $(b)$ Радиальное распределение амплитуды пробных НЧ волн, возбуждаемых при непосредственной подаче НЧ сигнала на рамочную антенну; измерения выполнены на тех же частотах $F=f_m$ в том же сечении $z$.}
        \label{fig:param_vs_dir}
\end{figure} 
 
Эксперименты показывают, что поперечные размеры области, занятой НЧ волнами, которые регистрируются практически по всему сечению плазменного столба (\mbox{рис.\ref{fig:param_vs_dir}$a$}), существенно превосходят диаметр силовой трубки, содержащей ускоренные электроны ($r < 10$\,см). Кроме того, ускорение электронов амплитудно-мо\-ду\-ли\-ро\-ван\-ным ВЧ полем в условиях ЭЦР позволяет возбудить НЧ волны в большей области плазмы, чем при их излучении с помощью антенны, к которой подводится НЧ сигнал. На \mbox{рис.\ref{fig:param_vs_dir}$b$} приводится радиальное распределение амплитуды пробных НЧ волн, возбуждаемых при непосредственной подаче НЧ сигнала на рамочную антенну. Видно, что в этом случае НЧ волны локализованы вблизи оси плазменного столба на поперечном масштабе $r < 20$\,см, обусловленном размерами излучателя, и не достигают периферии плазмы, как при параметрическом возбуждении амплитудно-модулированным ВЧ полем.   

Амплитуда НЧ волн, возбуждаемых при ускорении электронов амплитудно-мо\-ду\-ли\-ро\-ван\-ным ВЧ сигналом, резонансным образом зависит от отношения несущей частоты $f$ к электронной циклотронной частоте (\mbox{рис.\ref{fig:param_vs_dir_res}}). Ширина резонанса увеличивается с повышением частоты модуляции (\mbox{рис.\ref{fig:param_vs_dir_res}$a$}), что обусловлено увеличением полной ширины частотного спектра ВЧ поля, ускоряющего электроны. Так как амплитуда НЧ волн максимальна в условиях ЭЦР, предлагаемый резонансный механизм генерации, вероятно, эффективнее других параметрических механизмов, использующих, например, пондеромоторную нелинейность плазмы~\cite{Gushchin}.
\begin{figure}[H]
    \begin{center}
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{param_vs_dir_res}
        \caption{$(a)$ Амплитуда НЧ волн свистового диапазона на частотах $F=f_m$, возбуждаемых амплитудно-модулированным ВЧ сигналом ($f=66.5$\,МГц, $P=300$\,Вт), в зависимости от отношения $f/f_{ce}$; измерения выполнены на расстоянии $z=64$\,см от антенны вблизи оси плазменного столба $r=0$\,см. $(b)$ Амплитуда НЧ волн свистового диапазона на частоте $f=f_m=200$\,кГц, возбуждаемых амплитудно-модулированным ВЧ сигналом, в зависимости от отношения $f/f_{ce}$ в сечении $z=64$\,см при различных радиальных позициях $r$ измерительного зонда.}
        \label{fig:param_vs_dir_res}
    \end{center}
\end{figure}
\subsection{Обсуждение результатов}
Обсудим результаты экспериментов, проведенных в данной работе. Очевидно, что при максимальной ВЧ мощности ($P\simeq300$\,Вт), подводимой к антенне, возможны сильные возмущения концентрации электронов $n_e$, обусловленные развитием различных нелинейных процессов, поскольку напряженность электрических ВЧ полей в ближней зоне достигает $E\sim 10$\,В/см, а плотность энергии ВЧ поля превышает плотность энергии теплового движения частиц плазмы. В то же время, характерное время перераспределения концентрации плазмы со звуковой скоростью на масштабах ближней зоны антенны составляет $L/v_s >20$\,мкс, превышая, в частности, период амплитудной модуляции ВЧ поля в экспериментах по параметрической генерации НЧ волн. Отсутствие заметных возмущений концентрации плазмы на указанных временах подтверждается прецизионными измерениями, выполненными зондом с СВЧ-резонатором по методике, описанной в~\cite{Yanin}. В результате, регистрируемый в возмущенной области плазмы диамагнитный эффект связан исключительно с изменением средней поперечной энергии $T_{\perp}$ электронов относительно невозмущенного значения $T_{e0}$. При типичных параметрах эксперимента ($|\Delta B|\simeq 10^{-2}$\,Гс, $n_e\simeq 10^{10}$\,см$^{-3}$, $T_{e0}\simeq 1$\,эВ) $T_{\perp}/T_{e0} \simeq 1 + B|\Delta B|/(4\pi n_{e}T_{e0}) \simeq 2.2$, т.е. поперечная энергия электронов увеличивается более чем в два раза.

Отдельного обсуждения заслуживает поперечная структура НЧ волн, возбуждаемых модулированным диамагнитным током и непосредственно рамочной антенной (\mbox{рис.\ref{fig:param_vs_dir}}). Эксперименты показывают, что при прямой подаче НЧ напряжения на рамочную антенну распределение амплитуды НЧ волн, возбуждаемых в плазме, имеет меньший поперечный масштаб, чем при их параметрической генерации амплитудно-модулированным ВЧ сигналом, подводимым к той же антенне. Поперечные размеры источников НЧ волн в обоих случаях одинаковы, но существенно отличаются продольные масштабы: ``бестелесная'' антенна, формируемая модулированным диамагнитным током, имеет конфигурацию соленоида, сильно вытянутого вдоль внешнего магнитного поля. При этом пространственный спектр модулированного диамагнитного тока оказывается не таким широким, как у тока в проводе одновитковой рамочной антенны. В результате, возбуждаются НЧ волны с более узким спектром волновых векторов, и пространственная структура НЧ излучения оказывается в целом шире, чем при использовании рамочной антенны.

Для интерпретации результатов измерений  НЧ полей, возбуждаемых амплитудно-модулированной ВЧ накачкой, важно, что длины волн НЧ излучения в условиях эксперимента сравнимы с размерами плазменного столба, и составляют $50\div 200$\,см. Таким образом, измерения выполняются в ближней зоне и зоне Френеля ``бестелесной'' антенны, характеризуемой сложной пространственной структурой тока ускоренных частиц. Указанным обстоятельством объясняется немонотонное изменение амплитуды НЧ полей по радиусу плазмы при $r<25$\,см (\mbox{рис.\ref{fig:param_vs_dir}$a$}). Кроме того, из \mbox{рис.\ref{fig:param_vs_dir}$a$} видно, что поперечный размер области плазмы, занятой НЧ излучением, увеличивается при понижении частоты модуляции $f_m$. Этот эффект, по-видимому, связан с изменением геометрических размеров ``бестелесной'' антенны. В частности, ее продольный масштаб определяется длиной, на которой модуляция диамагнитного тока исчезает из-за теплового разброса продольных скоростей электронов, и по порядку величины может быть оценен как $L_{eff}\sim v_{Te}/f_m$. Соответственно, с понижением частоты модуляции $f_m$ увеличивается эффективная длина излучающей области плазмы. Геометрия ``бестелесной'' антенны становится ближе к цилиндрической, и амплитуда НЧ волн медленнее убывает по радиусу плазменного столба, что и наблюдается в эксперименте.

Используя преобразования подобия, по результатам лабораторных экспериментов оценим уровень квазистационарных и НЧ возмущений магнитного поля $|\Delta B_{space}|$, которые могут быть получены в активных экспериментах в верхней ионосфере с использованием мощных антенных систем, установленных на борту КА. При мощности передатчика $P\sim100\div1000$\,Вт, нагруженного на антенну с характерными размерами $L\sim10\div100$\,м, используя значение масштабного множителя $\gamma\sim 100$, величину квазистационарных диамагнитных возмущений в силовой трубке, опирающейся на антенну, можно оценить как $|\Delta{}B_{space}|=\gamma{}^{-1}|\Delta{}B|\sim 10^{-4}\div 10^{-3}$\,Гс ($10\div100$\,нТл), что сравнимо с возмущениями магнитного поля при инжекции сильноточных ($I\sim 0.1$\,А) пучков энергичных ($W\sim 10$\,кэВ) электронов с борта КА~\cite{Orajevskiy}. Амплитуда переменного магнитного поля в ОНЧ свистовых волнах с частотами $f_{space}=\gamma{}^{-1} f_m\sim 1\div 10$\,кГц, возбуждаемых при подаче на бортовую антенну КА мощного амплитудно-модулированного сигнала, может достигать $|\Delta{}B_{space}|\sim 10^{-6}\div 10^{-5}$\,Гс ($0.1\div 1$\,нТл).  

Таким образом, результаты первых модельных экспериментов показывают, что эффект циклотронного ускорения электронов в ближней зоне антенн космического базирования может быть использован в целях генерации квазистационарных и НЧ возмущений ионосферной плазмы. Предложена схема параметрической генерации НЧ волн, основанная на ускорении электронов плазмы, окружающей КА, амплитудно-мо\-ду\-ли\-ро\-ван\-ным ВЧ сигналом в условиях ЭЦР. НЧ волны, возбуждаемые при модуляции потока ускоренных электронов в силовой трубке, опирающейся на антенну, занимают существенно большую область плазмы, чем в случае их прямого возбуждения с помощью той же антенны. Несмотря на относительную малость диамагнитных возмущений ($|\Delta{}B|/B < 10^{-3}$), повышение эффективности генерации НЧ волн достигается за счет увеличения геометрических размеров источника --- ``бестелесной'' антенны, формируемой модулированными диамагнитными токами. К достоинствам предлагаемой схемы генерации НЧ волн относится возможность широкополосной перестройки по низкой частоте. Отметим, что протяженная ``бестелесная'' антенна является антенной магнитного типа, поскольку формируется замкнутыми электронными токами, возбуждение которых не связано с модуляцией плотности плазмы. В результате реализуются предпочтительные условия для возбуждения электромагнитных НЧ волн, например --- свистовых или альфвеновских.

В ходе численного моделирования процесса ЭЦР ускорения электронов мощным импульсом ВЧ накачки было получено, что функция распределения электронов $f(t,z,v_{\perp})$ по поперечной скорости $v_{\perp}$ практически не изменяется в интервале скоростей $v_{\perp}\sim{}v_{Te0}$, однако, при $v_{\perp}\gg{}v_{Te0}$ ускоренные условиях ЭЦР электроны образуют ``хвост'' функции распределения; доля этих электронов мала относительно концентрации плазмы (не более $1\%$), но именно они дают основной вклад в наблюдаемое НЧ возмущение внешнего поля. Предварительные оценки диамагнитного эффекта, полученные в ходе решения модельной задачи, численно совпали с результатами модельных лабораторных экспериментов.
\section{Результаты численного моделирования}
При изучении параметрической генерации НЧ волн потоками ускоренных в условиях ЭЦР электронов важно знать долю электронов, ускоренных до энергии, превышающей тепловую энергию фоновой плазмы, и, таким образом, формирующих диамагнитное возмущение. Эта задача сводится к вычислению эволюции во времени и пространстве  функции распределения электронов по поперечным скоростям $f(t, \vec{r}, v_{\perp})$.

Для решения этой задачи использовался метод численного моделирования процесса ЭЦР ускорения электронов мощным импульсом ВЧ накачки. Модельная задача формулируется следующим образом.
В пространстве $\Omega=1D\times{}3V$ (т.е. прямое произведение одномерного координатного пространства $\{z: z\in{}\Re, |z|<L\}$ и трехмерного пространства скоростей $\{\vec{v}: \vec{v}\in{}\Re^{3}\}$, ) в момент времени $t=0$ задано дискретное распределение $N$ частиц по координате $z$ и скоростям $\vec{v}$: $F_{0}(z, \vec{v})\equiv{}F(t=0, z, \vec{v})$, такое, что начальная позиция $i-$ой частицы $z_{0i}$ является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале $[-L,L]$, а начальная скорость $\vec{v}_{0i}$ - случайным вектором, координаты которого $v_{0i}^{(j)},\ {}(j=1,2,3)$ --- случайные величины, имеющие максвелловский закон распределения с дисперсией, соответствующей заданной начальной температуре $T_{e0}$; общее число частиц $N$ определяется заданной концентрацией $n_{e}$ частиц в координатном пространстве: $n_{e}=(N/2L)^{3}$; частицы обладают массой $m$ и зарядом $e$, равными, соответственно, массе и заряду электрона; взаимодействие частиц между собой не учитывается. Внешнее магнитное поле $\vec{B}_{0}$ задано в виде $\vec{B}_{0} = \vec{z}B_{0},\ {}B_{0}\equiv{}const$. В точке $z=z_{0}$ помещен источник линейно-поляризованного электрического поля $\vec{E}(z,t) = \vec{x}_{0}E_{0}(z,t)sin(\omega_{ce}t)$, где $E_{0}(z,t)$ --- заданная пространственная и временная огибающая импульса с частотой заполнения $\omega_{ce}$. Требуется определить эволюцию распределения частиц $F(t,z,\vec{v})$ в пространстве $\Omega$ в интервале  времени $t\in[0,T]$. Временной $2T_{pulse}$ и пространственный $2L_{pulse}$ масштабы огибающей $E_{0}(z,t)$ много меньше, соответственно, времени эволюции  $T$ и пространственных размеров $2L$ системы; при этом, $T_{pulse}\gg2\pi/\omega_{ce}$.

В системе СГС движение $i-$ой частицы в пространстве $\Omega$ описывается следующей системой линейных ОДУ:
\begin{equation}
\label{eq:ode}
\left\{ 
\begin{array}{l}
  \dfrac{dz_{i}}{d\tau}=\dfrac{v_{i}^{(3)}}{\omega_{ce}}\\
  \dfrac{dv_{i}^{(1)}}{d\tau}=-v_{i}^{(2)}-\dfrac{eE_{0}(z,\tau)}{m\omega_{ce}}sin(\tau)\\
  \dfrac{dv_{i}^{(2)}}{d\tau}=v_{i}^{(1)}\\
  \dfrac{dv_{i}^{(3)}}{d\tau}=0\\
\end{array} \right.
\end{equation}
где $\omega_{ce}=eB_{0}/mc$, $\tau = \omega_{ce}t$.
При численном расчете модельной задачи использовалась следующая форма огибающей импульса накачки: 
\begin{equation}
\label{eq:pulse}
E_{0}(z,t)=A\cdot{}exp\bigg(-\Big(\dfrac{t-t_{0}}{T_{pulse}}\Big)^4\bigg)\cdot{}exp\bigg(-\Big(\dfrac{z-z_{0}}{L_{pulse}}\Big)^2\bigg)
\end{equation}
Для вычисления функции распределения $f(t, z, v_{\perp})$ $(v_{\perp}=\sqrt{{v^{(1)}}^{2}+{v^{(2)}}^{2}},\ {}v_{\parallel}=v^{(3)})$ использовалась следующая формула:
\begin{equation}
\label{eq:f}
f(t,z,v_{\perp})=\dfrac{\displaystyle\sum_{|v'_{\perp}-v_{\perp}|\leq{}\Delta{}v_{\perp}/2}\ {} \displaystyle\sum_{|z'-z|\leq{}\Delta{}z/2} F(t,z',v'_{\perp})}{\displaystyle\sum_{v'_{\perp}}\ {} \displaystyle\sum_{|z'-z|\leq{}\Delta{}z/2} F(t,z',v'_{\perp})}
\end{equation}
где $\Delta{}z,\Delta{}v$ - объем пространства координат и пространства скоростей, соответственно, по которым производится усреднение микроскопических параметров системы частиц. Знание функции $f(t,z,v_{\perp})$ позволяет вычислить среднее значение поперечной энергии частиц в точке $z$:
\begin{equation}
\label{eq:t_perp}
T_{\perp}(z,t) = \displaystyle\sum_{|z'-z|\leq{}\Delta{}z/2} \displaystyle\sum_{v'_{\perp}} \dfrac{mv'^{2}_{\perp}}{2}f(t,z',v'_{\perp})
\end{equation}
и соответствующее диамагнитное возмущение поля $B_{0}$:
\begin{equation}
\label{eq:db}
\Delta{}B(z,t)=-4\pi{}n_{e}\dfrac{T_{\perp}(z,t)-T_{0\perp}}{B_{0}}
\end{equation}
где $T_{0\perp}$ - средняя поперечная энергия частиц в момент времени $t=0$.
В \mbox{таб.~\ref{tab:parameters}} сведены значения основных параметров, используемых при численном расчете модельной задачи.
\begin{table}[h]
{
   \centering %центрируем таблицу
   \resizebox{\textwidth}{!}{%
   \begin{tabular} {|c|c|c|c|c|c|p{1.1cm}|p{1.1cm}|c|c|c|c|c|}
     \hline
     \textbf{Параметр} &  $n_{e}$,\,см$^{-3}$ & $T_{e0}$,\,эВ & $L$, см & $A$, В$/$см & $B_{0}$,\,Гс & $2T_{pulse}$, $\mu{}s$ & $2L_{pulse}$, см & $z_{0}$, см & $t_{0}$, $\mu{}s$ & $T$, $\mu{}s$ & $\Delta{}z$, см & $\Delta{}v,\ {}v_{Te}$ \\\hline
     \textbf{Значение} & $10^{10}$ & $1$ & 100 & 3 & $25$ &  1 &  1 & 0 &  0.8 & 10 & 0.2 & 0.6 \\\hline
   \end{tabular}
}
   \caption{Основные параметры численного расчета модельной задачи.}
   \label{tab:parameters}
   }
\end{table}
Постановка модельной задачи не учитывает диссипацию энергии частиц, связанной с электрон-ионными столкновениями в плазме, что, однако, не повлияет на качественный характер релаксации энергии частиц  при условии $\tau<\tau_{ei}$, $\tau$ - характерное время релаксации энергии в решении модельной задачи,  $\tau_{ei}$ - характерное время электрон-ионных столкновений; при значениях параметров плазмы, принятых в \mbox{таб.~\ref{tab:parameters}} численное  решение модельной задачи справедливо при 
\begin{equation}
\label{eq:restr}
\tau<\tau_{ei}\sim{}4\ {}\mu{}s
\end{equation}

Для поддержания средней концентрации частиц в объеме на заданном уровне $n_{e}$, выходящие из объема $|z|<L$ частицы компенсировались частицами со средней энергией фоновой плазмы, равномерно распределенные по счетному объему, при этом среднее число $N$ частиц в объеме $dz$ варьировалось в интервале $20\%$ от среднего значения $N_{0}$, определяемого плотностью $n_{e}$ (\mbox{рис.\ref{fig:n_z=3_5}}); таким образом, колебания числа частиц в объеме $dz$ не оказывают существенного влияния на результаты.
\begin{figure}[H]
    \begin{center}
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{n_z=3_5}
        \caption{$(1)$ Характерная зависимость от времени числа частиц в объеме $dz$. $(2)$ Среднее число частиц в объеме $dz$. $(3)$ Число частиц в объеме $dz$, соответствующее заданной плотности $n_{e}$}
        \label{fig:n_z=3_5}
    \end{center}
\end{figure}
На \mbox{рис.\ref{fig:pulse_profile}} изображен пространственно-временной профиль импульса накачки электрического поля $E_{0}(z,t)$, используемый в численных расчетах.
\begin{figure}[H]
    \begin{center}
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{pulse_profile}
        \caption{Пространственно-временной профиль импульса накачки с характерными размерами $2L_{pulse}\simeq{}1$~см 
        и длительностью $2T_{pulse} \simeq 1~\mu{}s$, используемый при численном расчете модельной задачи.}
        \label{fig:pulse_profile}
    \end{center}
\end{figure}

На \mbox{рис.\ref{fig:VTR}} приведена динамика во времени функции распределения электронов $f(t',z,v_{\perp})$ в точке $z=3.5$~см; видно, что в функция распределения в интервале скоростей $v_{\perp}<10^{8}$~см/с меняется мало, однако, при $v_{\perp}>10^{8}$ ускоренные условиях ЭЦР электроны образуют ``хвост'' функции распределения; доля этих электронов мала (не более $1\%$), но именно они дают основной вклад в наблюдаемое НЧ возмущение внешнего поля.
\begin{figure}[H]
    \begin{center}
        \includegraphics[width=\textwidth]{VTR}
        \caption{Функция распределения частиц $f(t',z',v_{\perp})$ в точке $z'=3.5$~см в различные моменты времени $t'$: $(a)$ $t'=1\mu{}s$, $(b)$ $t'=1.5\mu{}s$, $(c)$ $t'=1.9\mu{}s$, $(d)$  $t'=2.4\mu{}s$}
        \label{fig:VTR}
    \end{center}
\end{figure} 

На \mbox{рис.\ref{fig:T_mean_3_5}} приведены результаты расчета возмущения средней поперечной энергии частиц (\mbox{рис.\ref{fig:T_mean_3_5}}$b$) в точке $z=3.5$~см; для удобства, приведен также пространственный профиль импульса накачки $E_{0}(z,t)$ в точке $z=0$ (\mbox{рис.\ref{fig:T_mean_3_5}$a$}). 
Резкие выбросы энергии $T_{\perp}$ (например, в момент времени $t\sim{}5.5\ {}\mu{}s$ на \mbox{рис.\ref{fig:T_mean_3_5}$(b)$}) образованы электронами с малыми продольными скоростями $(v_{\parallel}\sim{}7\cdot{}10^{5}$~см/с$\ {}\ll{}v_{Te})$, т.е. электронами, эффективность набора поперечной скорости в поле импульса накачки которых выше, чем у электронов с $v_{\parallel}\geq{}v_{Te}$; однако, эти выбросы дают малый вклад в НЧ возмущение поля $B_{0}$. Как видно из графика, поперечная энергия электронов $T_{\perp}$ увеличивается, в среднем, в $1.5$ раза; при этом,  диамагнитное возмущение составляет $|\Delta{}B|\approx{}10^{-2}$~Гс, что количественно совпадает с экспериментальными результатами (\mbox{рис.\ref{fig:pump}}).
\begin{figure}[H]
    \begin{center}
        \includegraphics[width=0.41\textwidth]{T_mean_3_5}
        \caption{$(a)$ Временной профиль импульса накачки в точке $z=0$. $(b)$ Зависимость от времени средней поперечной энергии частиц в точке $z=3.5$~см, полученная в ходе численного расчета модельной задачи.}
        \label{fig:T_mean_3_5}
    \end{center}
\end{figure}
Характерное время $\tau$ релаксации энергии $T_{\perp}(t)$ не превышает $4\ {}\mu{}s$, что соответствует условию  применимости (\ref{eq:restr}) решения данной модельной задачи при расчете процессов релаксации энергии электронов в плазме.

\section{Заключение}
В работе получены следующие результаты:
\begin{enumerate}
\item Тепловые электроны замагниченной плазмы, проходящие через ближнюю зону антенны, в условиях ЭЦР ускоряются преимущественно в направлении, перпендикулярном внешнему магнитному полю; возможно формирование крупномасштабных плазменных областей, сильно вытянутых вдоль направления магнитного поля, которые содержат ускоренные по поперечной энергии электроны. При этом наблюдается диамагнитный эффект – наведение дополнительного магнитного момента в силовой трубке, опирающейся на антенну. 

\item Если ЭЦР нагрев плазмы производится высокочастотным полем, модулированным по амплитуде, поперечная энергия электронов и магнитный момент возмущенной области плазмы модулируются с соответствующим периодом. В результате, протяженная область плазмы, содержащая ускоренные частицы, может выступать в роли параметрической (``бестелесной'') антенны, излучающей волны на частоте модуляции греющего поля.

\item На крупномасштабном плазменном стенде ``Крот'' проведены модельные лабораторные эксперименты, результаты которых свидетельствуют о возможности использования данной схемы параметрической генерации ОНЧ волн в активных ионосферных экспериментах, проводимых с использованием антенн, установленных на борту космических аппаратов, например - ионозондов космического базирования.

\item Результаты предварительного численного моделирования процесса ЭЦР ускорения электронов мощным импульсом ВЧ накачки показали, что ускоренные электроны, дающие основной вклад в НЧ возмущение внешнего поля, составляют малую долю (менее $1\%$) от общей концентрации плазмы и  образуют ``хвост'' при $v_{\perp}\gg{}v_{Te0}$ изначальной функции распределения электронов по поперечной скорости $v_{\perp}$.
\end{enumerate}



\begin{thebibliography}{14}
\bibitem{Demekhov}
A.G.~Demekhov, V.Y.~Trakhtengerts, M.M.~Mogilevsky, and L.M.~Zelenyi, Adv.~Sp.~Res. {\bf 32}, 355 (2003).

\bibitem{SPBEACON}
R.A.~Helliwell, "VLF wave stimulation experiments in the magnetosphere from Siple Station, Antarctica," Rev. of Geophysics, {\bf 26}, 551, (1988).

\bibitem{HAARP}
M.~Platino, U.S.~Inan, T.F.~Bell et al., Ann.~Geophys. {\bf 22}, 2643 (2004).

\bibitem{WHISPER}
P.M.E.~Decreau, P.~Fergeau, V.~Krasnoselskikh et al., Ann.~Geophys. {\bf 19}, 1241 (2001).

\bibitem{James}
H.G.~James, J.~Geophys.~Res. {\bf 88}, 4027, (1983).

\bibitem{Pulinets}
С.А.~Пулинец, В.В.~Селегей, Космические исследования {\bf 23}, 113 (1985).

\bibitem{Galperin}
F.K.~Shuiskaya, Yu.I.~Galperin, A.A.~Serov et al., Planet.~Sp.~Sci. {\bf 38}, 173 (1990).

\bibitem{Huang}
C.Y.~Huang, W.J.~Burke, D.A.~Hardy et al., J.~Geophys.~Res. {\bf 106}, 1835 (2001).

\bibitem{Gushchin}
М.Е.~Гущин, С.В.~Коробков, А.В.~Костров, А.В.~Стриковский, Письма в ЖЭТФ {\bf 88}, 834 (2008).

\bibitem{Stenzel}
R.L.~Stenzel, Rev.~.~Instrum. {\bf 47}, 603 (1976).

\bibitem{Yanin}
Д.В.~Янин, А.В.~Костров, А.И.~Смирнов, А.В.~Стриковский, ЖТФ {\bf 78}, 133 (2008).

\bibitem{UHF_probe}И.~Г.~Кондратьев, А.~В.~Костров, А.~И.~Смирнов, А.~В.~Стриковский, А.~В.~Шашурин Зонд с СВЧ-резонаторм на отрезке двухпроводной линии. \newblock Институт прикладной физики РАН, 2001

\bibitem{Alfven}
Г.~Альвен, К.-Г.~Фельтхаммар, Космическая электродинамика \newblock М.,Мир, 1967. 260~c.

\bibitem{Helliwell}
R.A.~Helliwell, Geophys.~Res.~Lett. {\bf 22}, 2095 (1995).

%\bibitem{RPI}
%S.F.~Fung, R.F.~Benson, J.L.~Green et al., Adv.~Space~Res. {\bf 30}, 2259 (2002).

%\bibitem{Inan}
%P.~Kulkarni, U.S.~Inan, T.F.~Bell, J.~Geophys.~Res. {\bf 113}, A09203 (2008).

\bibitem{Orajevskiy}
В.Н.~Ораевский, Я.П.~Соболев, Л.Н.~Жузгов и др., Физика плазмы {\bf 27}, 343 (2001).

\end{thebibliography}
\end{document}